Numeri Periodici 

periodo 9


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Numero con periodo $9$

Quanto vale un numero con periodo $9$? Prendiamo per esempio $1.(9)$: potresti dirmi un numero che è sicuramente più grande di $1.(9)$? Forse $3$? Certamente! $2.5$? Anche. E anche $2.1$ o $2.01$ o $2.001$. E sapresti dirmi un numero più grande di $1.(9)$ ma più piccolo di $2$?

No, non esiste un numero un numero più grande di $1.(9)$ ma più piccolo di $2$! Se ci pensi bene è logico: per essere più piccolo di $2$ il numero deve essere qualche cosa come $1.99$, ma questi numeri, con un numero finito di $9$ dopo la virgola, sono tutti più piccoli di $1.(9)$ che di $9$ dopo la virgola ne ha infiniti!

La conclusione a questo punto deve essere per forza che $1.(9)=2$! E in effetti, proviamo a scrivere $1.(9)$ in forma frazionaria (frazione generatrice)...

Scriviamo a numeratore parte intera e periodo (l'antiperiodo non c'è) tutti di seguito e senza virgole, quindi nel nostro caso $19$, e sottraiamo la parte intera (anche qui niente antiperiodo), nel nostro caso quindi $1$:

$1.(9) = (19 - 1 = "parte intera e periodo" - "parte intera") / ... $

e a denominatore un numero composto da tanti $9$ quante sono le cifre del periodo, cioè un solo $9$:

$1.(9) = (19 - 1)/(9 ← "il periodo ha 1 cifra")= 18/9 = 2$

Non male eh? Comunque prima ci eravamo arrivati anche solo con il ragionamento, senza fare calcoli! E questo vale ovviamente anche per numeri con un antiperiodo, quindi per esempio:

$4.12(9) = (4129 - 412)/900 = 3717/900 = 4.13$

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